El mínimo común múltiplo: los períodos electorales

Los mundos de la matemática y el derecho parecen, a simple vista, incompatibles. Pero esto es más percepción colectiva que realidad.
A la base se encuentra la idea de que las matemáticas son operaciones numéricas, complejas y abstractas, lo que se agrava con la experiencia de las clases preuniversitarias, que refuerzan la idea que ella sólo sirve para resolver problemas extraños, quizá ingeniosos, pero esencialmente ajenos a la cotidianeidad práctica de los estudiantes. En palabras menos elegantes, tras el bachillerato las matemáticas no sirven para nada. Y quizás tengan razón los que así piensan, a condición de reducir todo a preguntas como ¿cuántas veces, luego del bachillerato, la solución de uno de los problemas prácticos de mi vida ha requerido calcular el logaritmo natural de 5 o la raíz cúbica de 7?
El psiquiatra Abel Pacheco, Presidente de Costa Rica entre los años 2002 – 2006, formuló una pregunta similar ante los Jefes de Estado, Jefes de Gobierno y Presidentes de las Américas, en el marco de la Cumbre Extraordinaria de las Américas (Monterrey, 2004). Con su tradicional estilo desenfadado y haciendo alocución sobre las transformaciones que debería sufrir el currículo educativo expresó:
“¿De qué me sirvió a mi partirme el cerebro aprendiendo a calcular un seno, coseno o cotangente? ¡En mi vida saqué una cotangente!
Sus palabras fueron inmediatamente seguidas por las risas y carcajadas de todos los participantes, y valieron para que el Presidente anfitrión, Vicente Fox, le agradeciera por haber animado la reunión.

Más allá de la experiencia personal del ex Presidente Pacheco, que sin duda es también la de muchas personas, las matemáticas permiten describir y ofrecen un modelo para descubrir, o al menos conjeturar, sobre la realidad y sus transformaciones. Dos ejemplos/preguntas pueden demostrarlo:

  1. ¿Sabía usted que cuando una persona digita su clave en su cuenta de correo electrónico o en su cuenta de PayPal, y presiona la tecla “Enter”, dicha clave es encriptada por medio de algoritmos altamente seguros que se basan en la teoría de los números primos? La característica fundamental de los números primos de no poder dividirse de manera exacta por otro número distinto a sí mismos, hace que la encriptación sea especialmente confiable y que las probabilidades para descifrar una encriptación de manera aleatoria requieran un tiempo considerable en varios miles de años de esfuerzo asistido computacionalmente.
  2. ¿Sabía usted que las puertas poseen el pomo o agarradera en el extremo más lejano al eje de rotación no por casualidad o por estética, sino para que cuando una persona esté frente a ella y tire o empuje según corresponda, utilice la menor fuerza posible? Esto es así porque el movimiento giratorio que describe la puerta se explica por la distancia que hay entre el eje de rotación hasta el punto en el que la fuerza es aplicada (el pomo o agarradera de la fuerza) y la función trigonométrica del seno del ángulo formado entre la puerta y el brazo de quien la tira o empuja.
A lo mejor la culpa de todo no está en el contenido de la enseñanza de la matemática, como sugirió el expresidente Abel Pacheco, sino más bien en la pedagogía de la misma. Memorizar tablas de multiplicación es un buen ejemplo que demuestra que la matemática no se está enseñando bien. Quizás la gran mayoría de quienes lean este blog —y me disculpo de antemano por la generalización— puedan responder rápidamente cuál es el resultado de multiplicar 3×5, pero serán muy pocas las personas que podrán responder acertadamente qué significa multiplicar en el ámbito de la aritmética. A lo mejor el expresidente Pacheco se partió el cerebro aprendiendo a calcular senos, cosenos o cotangentes, pero no se ha logrado dar cuenta que cada vez que se para ante una puerta y la abre, ello se debe, entre otras cosas, al seno del ángulo que forma su brazo con el pomo o agarradera de la puerta. Sin duda la función trigonométrica seno ha sido más útil para la vida cotidiana y práctica del expresidente que lo que él mismo ha logrado dimensionar.
Entre el derecho y la matemática pasa también algo similar. Si reducimos la matemática a cálculos complicados y a fórmulas con simbología extraña, la matemática parece una cosa tan sofisticada como alejada del mundo normativo. Pero si entendemos que la matemática trata de abstracciones descriptivas de naturaleza cuantitativa con reglas propias para disciplinar la lógica de su pensamiento y asegurar su asertividad, la cosa cambia, pues el derecho también realiza abstracciones descriptivas —en términos deontológicos, describe el deber ser— con reglas propias que disciplinan la lógica de su pensamiento —el derecho posee operadores mediante los que manda, prohíbe o permite, por ejemplo— para lograr la eficacia, entonces habrá más puntos de coincidencia que los que se pueden advertir con simpleza.
La Constitución de El Salvador, por ejemplo, ha normado la realización de diferentes acontecimientos electorales, y al hacerlo ha tenido que introducirse al mundo de la aritmética, por medio del concepto del mínimo común múltiplo. Se dice que dos números enteros a y c son múltiplos entre sí cuando uno de ellos —c, para el caso— es el producto o resultado de haber multiplicado al primero por un tercer número b, por ejemplo, si a=2 y c=6 podemos afirmar que c es múltiplo de a porque sabemos que existe un tercer número b=3 con el cual se cumple la siguiente igualdad 2×3=6. Si las cosas se ven a la inversa, es decir desde el número múltiplo hasta el número a o hasta el número c, el número b es llamado divisor y aquéllos, cocientes; y del número múltiplo se dice que es divisible entre el divisor. A partir de esa definición se puede calcular, a manera de ejemplo, la serie de números múltiplos de a=2 y de c=6 cuando b toma los 15 primeros números enteros positivos, así:

 

b= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
a=2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
c=6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90
Es fácil identificar que hay múltiplos de 2 que son también múltiplos de 6, es decir que se encuentran en las dos series, siendo ellos: 6, 12, 18, 24 y 30. En matemáticas estos números son llamados múltiplos comunes, y pueden ser entendidos como las coincidencias de las series de múltiplos. En otras palabras, ante la pregunta ¿en qué valores coinciden las series de los primeros quince múltiplos de 2 y de los primeros quince múltiplos de 6? La respuesta son los múltiplos comunes ya identificados. Y el concepto del mínimo común múltiplo es precisamente el múltiplo común de menor magnitud, que describe el momento inicial y la periodicidad de dicha coincidencia, en este caso, a partir del número 6 las coincidencias estarán cada 6 unidades.
¿Qué relación tiene la noción del mínimo común múltiplo con los períodos electorales detallados en la Constitución? Si designamos la letra a para referir, en años, la realización de elecciones legislativas (a=3), y la letra c para referir, también en años, la realización de elecciones presidenciales (c=5), podemos construir la siguiente serie, en la que b representa el número de eventos electorales de cada tipo que sucederán a lo largo del tiempo, así:

 

b= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
a=3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45
c=5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

En otras palabras, se han identificado los múltiplos de a y de c empleando a b como multiplicador. Los múltiplos comunes son: 15, 30 y 45. Y el mínimo común múltiplo es 15. Esto significa que las elecciones legislativas y las elecciones presidenciales coincidirán cada 15 años. En términos de teoría electoral se diría que en El Salvador hay elecciones generales cada 15 años. Si ordenáramos en una sola línea de tiempo los diferentes eventos electorales, distinguiendo en negrilla las elecciones presidenciales y en naranja las elecciones generales, se descubriría un patrón interesante:

0 3 5 6 9 10 12 15 18 20 21 24 25 27 30 33 35 36 39 40 42 45


El primer presidente, elegido en el año 0, enfrentará durante su mandato una elección legislativa —en el año 3— y una elección presidencial —en el año 5—. El segundo presidente, elegido en el año 5, enfrentará dos elecciones legislativas —en el año 6 y en el año 9— y una elección presidencial —en el año 10—. El tercer presidente, elegido en el año 10, enfrenta una elección legislativa —en el año 12— y una elección general —en el año 15—. Y a partir de ahí el ciclo se repite formando un patrón. Luego, en El Salvador, hay presidentes que tienen un mandato en el que se exponen a más cambios políticos bruscos que otros. En otras palabras, unos gobiernan ascendiendo una cuesta empinada, y otros gobiernan ascendiendo una cuesta empinada y muy empedrada. Esto es, a su modo, injusto. Además de toda la dislocación social, económica y política que produce. Por otra parte, antes de llegar a las elecciones generales —cada 15 años como se ha descrito— la sociedad salvadoreña debe enfrentar 6 procesos electorales, lo cual no refleja necesariamente la calidad democrática de la sociedad salvadoreña y más bien esta elevada y desordenada cantidad de eventos electorales puede operar como un indicador de irracionalidad en el gasto público asociado.

Hay muchas maneras matemáticas para corregir esta circunstancia. Dos son especialmente llamativas. La primera consiste en equiparar la frecuencia de las elecciones legislativas con las presidenciales, realizando únicamente elecciones generales, en cuyo caso no habrá un mínimo común múltiplo pues todos los múltiplos serán iguales. La segunda implica buscar una relación estable y uniforme entre las elecciones legislativas y presidenciales. Pero hay una restricción adicional que atañe al Órgano Judicial.
La Sala de lo Constitucional ha interpretado, en la sentencia de inconstitucionalidad 29-2012, el principio que yo denomino de transferencia única de la legitimidad, conforme con la cual, así como el evento electoral legislativo transmite por una sola vez la legitimidad política democrática del pueblo a la Asamblea Legislativa, esta por medio de la elección de segundo grado la transmite por una sola vez, en condiciones regulares, a los diferentes funcionarios de los restantes órganos de gobierno cuya elección le corresponde, estando por ello impedida tanto de no elegir a dichos funcionarios como de elegir por más de una vez en el mismo trienio. Como se puede advertir, esta jurisprudencia ha establecido por medio de la interpretación constitucional una restricción aritmética con efectos prácticos, pues, aunque la sentencia está expresamente referida respecto del proceso electivo del Fiscal General de la República, es un hecho que no sólo respecto de él acontece lo que la Sala de lo Constitucional llama concordancia cronológica entre la duración del mandato del funcionario electo por la Asamblea Legislativa y la duración de la integración de la propia Asamblea Legislativa (Ver: Sala de lo Constitucional de la Corte Suprema de Justicia, Sentencia de inconstitucionalidad 29-2012, § V.3.D in fine, del 9 de julio de 2012).
De conformidad con el segundo inciso del artículo 186 de la Constitución, los Magistrados de la Corte Suprema de Justicia duran 9 años en sus cargos y se renuevan “por terceras partes cada tres años”. El hecho de que la renovación de los Magistrados de la Corte Suprema de Justicia deba hacerse por terceras partes indica que el total de los Magistrados —propietarios, por supuesto— es divisible entre 3, y que la renovación de un tercio de ese total se haga cada 3 años produce el efecto de permitirle a cada nueva integración de la Asamblea Legislativa determinar la renovación de ese tercio, reafirmando de esta manera el sentido del principio de transferencia única de la legitimidad.
A partir de lo mencionado, incluyendo la interpretación constitucional y de la lectura matemática del segundo inciso del artículo 186 de la Constitución, llego a la conclusión que no resulta conveniente cambiar la duración de la legislatura ya fijada en 3 años por un valor diferente. Y si se quiere preservar el principio de transferencia única de la legitimidad habría entonces que cambiar el término de duración del mandato de todos los funcionarios que son electos por la Asamblea Legislativa y equipararlos al nuevo término de duración de la legislatura. Esto incluiría a los Magistrados de la Corte Suprema de Justicia. Y si también se quisiera preservar respecto de dichos Magistrados el principio de renovación por terceras partes, debería cambiarse la duración de su mandato, de 9 años por el del valor resultante de multiplicar 3 por el nuevo número de años de duración de la legislatura. En términos prácticos, si se modificara la duración del mandato legislativo de 3 a 4 años, los Magistrados de la Corte Suprema de Justicia deberían durar 12 años en su mandato; y si la duración del mandato legislativo se modificara de 3 a 5 años —siguiendo el modelo de elecciones generales— entonces dichos Magistrados deberían durar 15 años en su mandato.

Dicho lo anterior, la opción de modificar el calendario electoral para que sólo existan elecciones generales no parece ser recomendable, pues implica muchas reformas constitucionales. Mantener las cosas como están, sin embargo, carece de racionalidad matemática y como se ha visto es también intrínsecamente inadecuado. ¿Cuál puede ser una solución? A lo mejor la solución está en asumir la existencia de elecciones generales matizándolas con elecciones de medio término. Se llaman elecciones de medio término a los eventos electorales que ocurren a la mitad del mandato presidencial, y generalmente sirven como un mecanismo de premio/castigo para la gestión presidencial. Usualmente, si la gestión presidencial es muy aceptada el resultado de las elecciones de medio término suele serle favorable al Presidente, y si la gestión presidencial es muy repudiada el resultado de las elecciones de medio término suele resultarle adverso por el crecimiento político de la oposición. Una elección de medio término impone, entonces, otra restricción aritmética.

Con lo expuesto hay 3 restricciones aritméticas que deberían moldear el calendario electoral: primero, que la duración del mandato legislativo actual no se modifique (para asegurar la vigencia del principio de transferencia única de la legitimidad); segundo, que la duración del mandato presidencial no se equipare a la duración del mandato legislativo (para evitar que el calendario se integre sólo por elecciones generales); y tercero, que la duración del mandato legislativo sea la mitad de la duración del mandato presidencial (para asegurar las elecciones de medio término). En esas condiciones, el mandato presidencial debería durar 6 años.

En el caso de realizar esa modificación a la Constitución se puede demostrar con facilidad que el mínimo común múltiplo entre 3 y 6 es 6, así:

 

b= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
a=3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45
c=6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90
Y el calendario electoral quedaría conformado así (siguiendo las características utilizadas anteriormente):

 

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 63


E
n este modelo desaparece el patrón desordenado y se sustituye por un patrón estable, en el que cada 6 años hay elecciones generales pero cada 3 años hay elecciones legislativas de medio término. De esta manera, cada Presidente electo enfrentará, sin variación, una elección legislativa y una elección general. Por otra parte, el número de elecciones en el tiempo se reduce, pues en 15 años la sociedad sólo habrá tenido que someterse a la realización de 4 procesos electorales, con espaciamiento igual en el tiempo, lo que ofrece estabilidad en todos los sentidos, incluida estabilidad de gasto en las finanzas públicas, permitiendo que no se pierdan importantes principios constitucionales ofreciéndole además a la población un ejercicio mucho más estratégico de su derecho al sufragio.

¿Se da cuenta que la matemática y el derecho tienen muchos más puntos de contacto que los que se aprecian a simple vista?

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