Los números primos, el máximo común divisor, y los Diputados propietarios de la Asamblea Legislativa

En la anterior publicación se realizó una aproximación al concepto de múltiplo de un número, y se construyeron algunas sucesiones de múltiplos, advirtiendo que entre dos o más sucesiones de múltiplos existen valores de convergencia —los múltiplos comunes—, y que el valor que describe la periodicidad de dicha convergencia es el mínimo común múltiplo. Debido a que los múltiplos de un número natural son evidentemente el producto resultante de la multiplicación de dicho número con otros semejantes, el concepto de mínimo común múltiplo entre dos o más series de múltiplos resulta bastante intuitivo, pues los múltiplos comunes tenderían a crecer ilimitadamente, y por eso, de todos ellos, el que puede llegar a tener más sentido práctico es el menor, el que opera como punto de partida del ciclo de convergencia y anticipa la periodicidad. De esta manera se demostró el desorden del calendario electoral salvadoreño trazado desde la Constitución y se planteó que una buena manera de poner orden al mismo, preservando contemporáneamente principios como el de única transferencia de la legitimidad, era ampliando el mandato del Presidente de la República de 5 a 6 años.
En esta oportunidad se hará una aproximación a un concepto bastante relacionado, la otra cara de la moneda, el máximo común divisor, obteniendo una aplicación práctica para identificar la sucesión de números dentro de la cual conviene, desde la racionalidad matemática, encontrar la cantidad óptima de Diputados de la Asamblea Legislativa. Previo a ello se hace necesario introducir el concepto de números primos.
Como es sabido, en el mundo de la aritmética existen diferentes conjuntos de números, uno de ellos es el de los números naturales (N = 1, 2, 3, 4, 5, …, ∞). Este conjunto se compone de tres tipos de números: la unidad, los números primos y los números compuestos. La unidad se representa por el arábigo 1. Los números primos están caracterizados porque sólo se dividen exactamente por sí mismos. Los números compuestos son aquellos que surgen a partir de la multiplicación de números primos. Justamente el teorema fundamental de la aritmética, planteado ya por Euclides entre los siglos IV y III AEC, se formula diciendo que todo número natural distinto a 1, o es un número primo o el producto de números primos.
Un ejemplo ayuda a aclarar. El número 2 es un número primo, y es el único número primo que es par. ¿Qué números se crearían si el número 2 se multiplica por sí mismo 2 y 3 veces?
2 X 2 = 4
2 X 2 X 2 = 8
¿Qué números se crearían si el número 2 se multiplica por otros números primos, por ejemplo 3 y 5?
2 X 3 = 6
2 X 5 = 10
¿Y si el número primo 3 se multiplica por sí mismo una sola vez?
3 X 3 = 9
Luego juntando la unidad 1, los números primos menores a 10 (2, 3, 5, 7), y los números compuestos que se han creado (4, 8, 6, 9, 10) y ordenándolos todos ascendentemente, se obtiene la primera decena de números naturales: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10). Y en estos números, como afirma el teorema fundamental de la aritmética, los que no son la unidad ni primos, son el producto de números primos.
Esta característica de los números primos da lugar a que se los denomine factores primos o divisores primos. Los números 4, 8, 6, 9, 10 se pueden comprender entonces como la relación aritmética multiplicativa de determinados números primos, ya sea consigo mismos o entre sí. El proceso inverso, es decir, la desintegración de un número compuesto en sus factores o divisores primos se denomina factorización primaria o simplemente factorización. Hay muchos métodos o algoritmos para factorizar, y en tercero o cuarto grado se estudió un método llamado descomposición en factores primos, muy útil para números de baja magnitud, que consiste en una sucesiva división exacta del número de interés entre los números primos, comenzando por el 2 hasta llegar al último número primo que integra al número de interés. Si una división no es exacta entonces se la evita.
Un problema típico de tercer o cuarto grado estaba enunciado de la siguiente manera: “Encuentre los factores primos de 126 y 96”, y seguramente usted hizo lo siguiente:
126
2
96
2
63
3
48
2
21
3
24
2
7
7
12
2
1
6
2
3
3
1

Se tiene entonces que 126 y 96 se componen de los siguientes factores primos:
Factores primos de 126: 2, 3, 7
Factores primos de 96: 2, 3
Pero algunos de estos factores primos existen en una modalidad específica pues aparecen repetidos (potenciación), así:
126 = 2 X 3 X 3 X 7 = 2 X 3² X 7
96 = 2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 3 = 25 X 3
De cualquier manera, lo que se observa es que los números primos integrantes de 126 y 96 que son comunes en esa estructura, son el 2 y el 3. Estos dos primos generan el número 6, y voilà, ese es el máximo común divisor. No se pretende retomar las clases de aritmética y mucho menos recordar el proceso de factorización. La determinación de los factores o divisores de un número, y la identificación del máximo común denominador de dos o más números naturales puede hacerse muy fácilmente con calculadoras on line que están hoy a disposición gratuita de cualquiera. Lo importante es entender qué significa el máximo común divisor de un grupo de números de interés. 
Como ya se puede advertir, el máximo común divisor es un número integrado por el producto de los factores primos comunes a los números de interés, y por lo tanto el máximo común divisor de dos o más números es el mayor número natural que les divide de manera exacta. Surge aquí otro concepto, el de divisibilidad. La divisibilidad es la característica de un número que le permite ser dividido entre otro de manera exacta. Por ejemplo, el número 126 es divisible entre 7; y el número 96 no. Con esto, si se conoce el máximo común divisor de una sucesión de números, por definición se asumirá que los integrantes de la misma son divisibles por él, o más exactamente, es el máximo valor entre el cual ellos son divisibles.
Ahora bien ¿Qué tiene que ver el mínimo común divisor con el mundo del derecho? Para llegar a la respuesta es necesario traer a colación una de las características del constitucionalismo democrático, en concreto, el control del poder. Bien fue dicho por Manuel Aragón, quien posteriormente fuera Magistrado del Tribunal Constitucional español, que “el control pasa a ser así un elemento inseparable de la Constitución, del concepto mismo de Constitución” (Ver: El control como elemento inseparable del concepto de Constitución, Revista Española de Derecho Constitucional, Año 7, Número 19, 1987, p. 15-52). Y en el constitucionalismo existen diferentes técnicas para alcanzar el control entre los órganos de poder (llamado control interorgánico). Pero en el ámbito constitucional también es importante el control dentro de cada órgano (llamado control intraorgánico), y si en un órgano ello se hace especialmente evidente, por la diversidad de actores con intereses y visiones, y por los ámbitos de derechos fundamentales que se deben mantener intangibles a mayorías coyunturales, es la Asamblea Legislativa. Dada la composición plural de la Asamblea Legislativa, la técnica que mejor puede ayudar a lograr algunos de los controles intraorgánicos es la distribución del régimen de mayorías.
En el caso salvadoreño la Asamblea Legislativa se compone de un número de Diputados propietarios (se ignorará la existencia de los Diputados suplentes por razones de simplicidad) que no está definido por la Constitución, sino que es la propia Asamblea Legislativa la que lo define. De momento, esa definición es de 84 Diputados propietarios, y se encuentra en el Código Electoral, en particular en su artículo 13. 
El inciso segundo del artículo 123 de la Constitución establece que para tomar resolución la Asamblea Legislativa requiere la concurrencia de por lo menos el voto favorable de la mitad más uno de los Diputados electos, exceptuando los casos en los que la misma Constitución requiere una mayoría diferente. En doctrina de derecho constitucional esta mayoría, así definida, se conoce como mayoría absoluta. En El Salvador la mayoría absoluta se logra con la concurrencia en el voto de 43 Diputados y es la regla general para la toma de todas las decisiones.
La Constitución también exige que algunas decisiones sean adoptadas por una mayoría calificada de ⅔ partes del total de los Diputados electos (para aprobar, reformar y derogar la ley especial de intervenciones telefónicas; para aprobar tratados de extradición; para el nombramiento de todos los funcionarios cuya elección le corresponde, con excepción de los Magistrados de la Corte de Cuentas de la República; para declarar la incapacidad física o mental del Presidente de la República, del Vicepresidente de la República o de los funcionarios electos por la Asamblea Legislativa; para suspender y restablecer las garantías constitucionales; para remontar un veto presidencial; para la aprobación de deuda pública; y para ratificar la reforma constitucional) o por una mayoría calificada aún más elevada, de ¾ partes del total de los Diputados electos (para aprobar tratados en los que se sometan a arbitraje cualquier cuestión relacionada con los límites del territorio; para aprobar tratados referentes al territorio nacional; y para suspender las obligaciones constitucionales que extienden el plazo de la detención administrativa). 
Por lo que señalan los artículos citados se sabe que el número de Diputados propietarios de la Asamblea Legislativa debe tener entonces dos características matemáticas: a) se debe poder dividir de manera exacta entre 3; y b) se debe poder dividir de manera exacta entre 4. En matemática cuando dos o más acontecimientos no están vinculados y pueden coexistir el uno sin el otro, se dice que son acontecimientos independientes. Adicionalmente cuando la concurrencia de tales acontecimientos es requerida, la relación aritmética que la describe es la multiplicación. Las mayorías calificadas de ⅔ y de ¾ de los Diputados propietarios de la Asamblea Legislativa son eventos independientes, pues los casos en los que se requiere de una mayoría no están en función de la otra. Y su coexistencia, como requisito para la estimación del número de Diputados propietarios que debería tener la Asamblea Legislativa implica por tanto que dicho número sea divisible entre 12 =34, y con ello que este número sea también el máximo común divisor de la sucesión de números de entre la cual se debería fijar el número de Diputados propietarios a la Asamblea Legislativa. 
Esa sucesión de números no será otra cosa que los múltiplos de 12, los que se forman así:
12 X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
=
12
24
36
48
60
72
84
96
108
120
132
144
Todos los números anteriores permiten asegurar que se formen exactas mayorías absolutas así como mayorías calificadas. Por supuesto que alguien puede decir que si la Asamblea Legislativa estuviera integrada por 50 Diputados propietarios, dichas mayorías siempre podrían tener lugar, pues la mayoría absoluta la integrarían 26 Diputados, la mayoría calificada de ⅔ partes sería de 33.33 Diputados y la mayoría de ¾ partes sería de 37.5 Diputados, por lo que con 34 y 38 Diputados bastaría para adoptar una decisión que las requiriera, respectivamente. Esa afirmación es cierta, y de hecho se emplea así en otros países, pero no forman mayorías exactamente divisibles. El número de Diputados propietarios en la Asamblea Legislativa es una cantidad discreta, contable de uno en uno, y no es necesario sustituirla por números racionales (Q). Si se puediera reducir su número hasta 50, bien se puede revisar el ajusta hasta 48 o hasta 60, y preservamos la elegancia matemática.
¿Podría el número de Diputados propietarios de la Asamblea Legislativa de El Salvador disminuir o incrementar? Claro que sí, pero idealmente su incremento o decremento debería respetar la característica matemática de que se preserve como máximo común denominador el número 12. Pero el número final de Diputados propietarios de la Asamblea Legislativa debe tomarse en función de otro elemento complementario, el vínculo de representatividad, el cual será abordado en la siguiente entrada, a partir de la noción aritmética de proporción.
¿Se da cuenta que la matemática y el derecho tienen muchos más puntos de contacto que los que se aprecian a simple vista?

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